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¿Juegos de azar o impuestos del estado? Probabilidades de loterías

Este post va especialmente dedicado a mi amigo Alberto.

Las probabilidades de ganar cualquier lotería, ya sea de LAE o de ONCE, son prácticamente despreciables. Siempre que juguemos una lotería su esperanza matemática será inferior a 1, es decir, lo más probable es perder dinero.

Pancho, el famoso perro de las loterías 😉

Estadísticamente, si algún día nos tocase un premio de X €, lo lógico es que nos hayamos gastado más de X € en boletos antes de resultar premiados, al menos estadísticamente hablando. Sería más rentable por tanto meterlo en una hucha o en una cuenta de ahorros y generar algunos intereses.

Un matemático de la talla de John Allen Paulos sostenía que la lotería es un impuesto que sólo pagan los ignorantes en matemáticas. Pero no todo es matemáticas ni estadísticas, puedes ser un maldito afortunado y ganar la lotería antes de lo que estadísticamente podemos esperar… y de eso se trata… todos los que juegan jugamos cualquier tipo de lotería soñamos con ser uno de esos malditos afortunados.

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la lotería es un impuesto que sólo pagan los ignorantes en matemáticas

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Llegados a este punto, ¿podemos preguntarnos que lotería tiene más sentido o es más racional? Para analizar esto hay que tener en cuenta además de los premios y la probabilidad de acertar, la ganancia prevista o esperanza (que algún matemático me corrija si me equivoco en los términos).

Por ejemplo, supongamos dos boletos:

  • Lotería A: 10% de probabilidad de ganar un premio de un millón de euros
  • Lotería B: 4% de probabilidad de ganar un premio de dos millones de euros.

Si estudiamos la ganancia prevista:

  • Ganancia prevista Lotería A: 1.000.000€ * 0,10 = 100.000€
  • Ganancia prevista Lotería B: 2.000.000€ * 0,04 = 80.000€

La ganancia prevista del primer boleto es mayor y por lo tanto, es más racional. Ahora bien, que una lotería sea más racional no quiere decir que sea la mejor opción. Para que nos entendamos, otro ejemplo:

  • Lotería C: 90% de probabilidad de ganar un premio de 2M€ (Ganancia = 1,8M€)
  • Lotería D: 10% de probabilidad de ganar un premio de 20M€ (Ganancia = 2M€)

La lotería D es más racional porque su ganancia prevista es superior. Sin embargo muchos, entre los que me incluyo, podemos pensar que la lotería C es mejor. Llamadme loco o inconformista pero a mi dos millones de euros me quitan de trabajar y las probabilidades de ganarla son mucho más altas. Más vale pájaro en mano que ciento volando. 🙂

Dicho esto, vamos a estudiar las probabilidades y ganancias previstas de tres de las loterías más populares en España: La Primitiva de LAE, el Cuponazo de la ONCE y el Euromillón. Veremos cual es más racional aunque, como hemos visto antes, la mejor depende del punto de vista de cada uno.

En algunos casos, los premios dependen de las recaudaciones de semanas anteriores, por lo que los cálculos son estimativos. Hay que tener en cuenta también que cada lotería tiene numerosos premios de segunda, tercera y sucesivas categorías. En este caso, solo tendremos en cuenta premios millonarios, con más de 6 cifras. ¿donde está ahora el inconformista?

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NOTA: Si no te interesan los cálculos puedes pasar directamente al último apartado (conclusiones). Si en cambio quieres profundizar y quieres más detalles déjame un comentario y te envío el desglose

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LA PRIMITIVA (LAE)

Un boleto esta compuesto de 6 números del 0 al 49 y un reintegro del 0 al 9. Hay un total de 158.907.000 combinaciones

Los premios varían según recaudación. Suponemos para los cálculos un primer premio de 50M€ y un segundo premio 1,25M€

  • La probabilidad de que toque (6 números y reintegro) es de 1 entre 158.907.000 combinaciones, lo que supone un 0,00000062929%
  • La ganancia prevista en el primer premio es de 0.2517€ por €uro apostado, descontando el 20% de Hacienda.

El segundo premio:

  • La probabilidad de que toque un segundo premio (6 números sin reintegro) es de 9 entre 158.907.000 combinaciones, lo que supone un 0,00000566361%
  • La ganancia prevista en el segundo premio es de 0.0566€ por €uro apostado, descontando el 20% de Hacienda.

En total la probabilidad es de 0,0000062929% y la ganancia prevista es de 0.3083€ por cada € apostado.

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EL CUPONAZO (ONCE)

Un boleto esta compuesto de 5 numeros del 0 al 9, más 135 series. Hay un total de 13.500.000 combinaciones.

El primer premio es de 9 000 000€. El resto de premios son de menos de 1M€

  • La probabilidad de que toque (5 números y serie) es de 1 entre 13 500 000 combinaciones, lo que supone un 0,000007407%
  • En total la ganancia prevista es de 0.176€ por €uro apostado, descontando el 20% de Hacienda.

En total la probabilidad es de 0,000007407% y en total la ganancia prevista es de 0.177€ por cada € apostado.

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EUROMILLON

Un boleto está compuesto de 5 números del 0 al 49 y 2 estrellas del 1 al 11. Hay un total de 116.531.800 combinaciones.

Los premios varían según recaudación. El primer premio puede variar entre los 15M€ y cantidades por encima de los 100M€. Supongamos un canitdad promedio de 70M€. El resto de premios rara vez supera el millón de euros.

  • La probabilidad de que toque el primer premio (5 números y 2 estrellas) es de 1 entre 116.531.800 combinaciones, lo que supone un 0,0000008581%
  • La ganancia prevista es de 0,36036€ por cada € apostado, descontando el 40% que en este caso se queda Hacienda

En total la probabilidad es de 0,0000008581%. En total la ganancia prevista es de 0.18018€ por €uro apostado.

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CONCLUSIONES

loterias

La probabilidad de que te toque el Euromillón es inmensamente más baja que en la Primitiva o el Cuponazo. Además, las ganancias previstas en caso de premio tampoco son excesivamente altas porque sólo hay una única combinación premiada con más de 1M€ entre mas de 116M de posibilidades . La primera conclusión importante de este artículo es que todos los que juguéis al Euromillón deberíais cambiar de estrategia 😉

Entre Primitiva y Cuponazo las cifras son más parejas. Hay más probabilidades de que te toque el Cuponazo pero los premios y por lo tanto la ganancia prevista de La Primitiva es superior. Estamos ante un caso similar al que comentábamos antes. ¿nos conformamos con 9 000 000€ o preferimos arriesgar un poco más para La Primitiva? En este caso los números no distan tanto como en el ejemplo anterior así que es difícil decidirse.

Profundizando un poco más, ambos tienen 10 reintegros por lo que tenemos un 10% de conseguir la devolución del boleto. Sin embargo, en el resto de premios de menos de 1M€, que no se han tenido en cuenta para los cálculos anteriores, el Cuponazo destaca con 9 premios de 100.000€ y 134 premios de 30.000€ por encima de la Primitiva, cuyos premios a la 3ª y 4ª categoría apenas llegan a los 3.000€ y 100€ respectivamente.

Yo personalmente, ante la duda, me decantaría por El Cuponazo y así de paso, que nunca está de más, colaboro con la Fundación ONCE.

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  1. JUan
    25 de marzo de 2014 en 7:56

    hay algún error en los inversos, % de probabilidades primitiva es de 0.000000006292, tres cerotes mas.En la ONCE es 0.00000007407, tres ceros mas y en el euromillon 0.000000008581, tambien 3 cerotes mas, el resto collonut.

    • 25 de marzo de 2014 en 8:21

      Gracias por la respuesta,
      Corrígeme si me equivoco

      Hay 158.907.000 combinaciones, que suponen el 100% del probabilidades.

      Hay 1 combinacion ganadora, que supone el X% de probabilidades.

      Una regla de tres:

      158.907.000 – 100
      1 – X

      Luego X = 100 / 158.907.000 = 6,29 e-7 = 0,000000629

  2. JUan
    26 de marzo de 2014 en 7:28

    Tienes razón, lo calcule en base1 y no en base 100. muy bueno tu post sebascas, Salut

  3. 26 de marzo de 2014 en 8:26

    Gracias a tí por pasar por aquí y comentar 😉

  4. 1 de agosto de 2015 en 14:35

    Me llamo Alex Nocito Muñoz soy de España Madrid soy libra nací 17/10/1981 y como el viernes 31 en el cuponazo toco el numero premiado que es el 98978 serie 086. Para que lo calcules y estudies quiero saber cual sera la próxima combinación ganadora para el viernes 7 de agosto 2015.
    Por favor envíamelo por email antes del viernes.

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